date: 2023-10-20
Type: Cours
Projet: Blindcode
Cours: Informatiquel'Algèbre de Boole
L'algèbre de Boole, également connue sous le nom d'algèbre binaire, est une branche des mathématiques et de l'informatique qui se concentre sur la manipulation symbolique des valeurs booléennes (vraies ou fausses) en utilisant des opérations logiques. L'algèbre de Boole est fondamentale en informatique, en électronique, et en logique numérique. Elle est utilisée pour concevoir des circuits logiques, écrire des expressions logiques, et simplifier des fonctions booléennes. Dans ce cours, nous explorerons les concepts de base de l'algèbre de Boole.
En algèbre de Boole, les variables booléennes prennent des valeurs booléennes, c'est-à-dire "vrai" (1) ou "faux" (0). Ces variables sont souvent notées par des lettres, comme A, B, C, etc. Elles représentent des propositions logiques.
Une proposition logique peut être remplace par ce que vous voulez qui a une réponse vraie ou fausse. En électronique, c'est simple du courant, vrai = le courant passe, faux = le courant ne passe pas. Cela dit, on peut l'appliquer à la vie de tous les jours. A peut valoir la réponse de "Est-ce que j'ai plus de 18 ans" et B, la réponse de "Est-ce que je fais plus que 1m80". Faire ces parallèles avec la vraie vie aide souvent à mieux comprendre ce système de calcul.
L'algèbre de Boole comporte plusieurs opérations de base :
Négation (NON) : L'opération de négation est notée ¬ ou ' (guillemets simples), en programmation, on utilisera plutôt ! (point d'éxclamation) et elle inverse la valeur d'une variable booléenne. Par exemple, ¬A signifie "non A." Est-ce que j'ai plus de 18ans ? VRAI deviendra : Est-ce que je n'ai pas plus ou égal que 18 ans ? Autrement dit : Est-ce que j'ai moins de 18ans ? Et la réponse deviendra FAUX
Conjonction (ET) : L'opération ET est notée ∧ (un chapeau ou Accent Circonflexe) ou (astérisque) ou encore && (double et commercial ou espérluette) en programmation et elle produit le résultat vrai uniquement si toutes les variables en entrée sont vraies. Par exemple, A ∧ B signifie "A et B." Est-ce que j'ai plus que 18 ans ET je fais plus qu'1m80 ? VRAI. Si vous avez 15 ans et que je vous pose la question : "As-tu moins de 18ans ET mesure plus qu'1m80 ?"" Même si vous mesurez plus qu'1m80, votre réponse sera FAUX"*
Disjonction (OU) : L'opération OU est notée ∨ (un chapeau inversé, ou la lettre v) ou + (plus), en programmation, ça sera plutôt || (double pipe, barre verticale ou encore obèle) et elle produit le résultat vrai si au moins l'une des variables en entrée est vraie. Par exemple, A ∨ B signifie "A ou B." Avec le même exemple que précédemment : As-tu plus de 18ans OU tu mesures plus qu'1m80 ? on va répondre VRAI si on mesure plus que 1m80, si on a 18 ans, ou les deux, et on ne répondra FAUX que si on fait moins d'1m80 ET qu'on a moins de 18ans. Ce qui implique que la négation d'une expression de Disjonction est la Conjonction de la négation des 2 variables initiales. Le même raisonnement est applicable avec la négation de la conjonction.
Les tables de vérité sont des outils importants en algèbre de Boole. Elles répertorient toutes les combinaisons possibles des valeurs des variables booléennes et indiquent le résultat de l'opération logique. Par exemple, voici la table de vérité pour l'opération ET (conjonction) :
| A | B | A ∧ B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
L'algèbre de Boole possède plusieurs propriétés importantes, dont certaines ressemblent à celles de l'arithmétique classique :
Commutativité : Pour l'opération ET (A ∧ B) = (B ∧ A) et pour l'opération OU (A ∨ B) = (B ∨ A).
Associativité : Pour l'opération ET (A ∧ B) ∧ C = A ∧ (B ∧ C) et pour l'opération OU (A ∨ B) ∨ C = A ∨ (B ∨ C).
Distributivité : (A ∧ B) ∨ C = (A ∨ C) ∧ (B ∨ C) et (A ∨ B) ∧ C = (A ∧ C) ∨ (B ∧ C).
Identité : Pour l'opération ET, A ∧ 1 = A et A ∧ 0 = 0. Pour l'opération OU, A ∨ 0 = A et A ∨ 1 = 1.
L'algèbre de Boole permet de simplifier les expressions booléennes pour les rendre plus compactes. Cette simplification peut être utile pour concevoir des circuits logiques plus efficaces.
L'algèbre de Boole est largement utilisée en informatique et en électronique pour concevoir des circuits logiques, écrire des expressions conditionnelles, et résoudre des problèmes de logique numérique. Elle est également essentielle en informatique théorique, notamment pour comprendre la complexité algorithmique et la logique des programmes.
En résumé, l'algèbre de Boole est une discipline fondamentale en mathématiques et en informatique, qui repose sur la manipulation de variables booléennes à l'aide d'opérations logiques. Elle joue un rôle essentiel dans la conception de circuits, la résolution de problèmes logiques, et l'analyse de la complexité algorithmique.
créé le 2023-10-20 à 10:25